514
22 Июл 2018 в 16:5622.07.2018 в 16:56

Объем усеченного конуса

Содержание

Введите высоту и радиусы оснований:
Определение усеченного конуса

Усеченный конус можно получить из обычного конуса, если пересечь такой конус плоскостью, параллельной основанию. Тогда та фигура, которая находится между двумя плоскостями (этой плоскостью и основание обычного конуса) и будет называться усеченным конусом.

У него имеется два основания, которые для кругового конуса являются кругами, причем один из них больше другого. Также усеченный конус имеет высоту — отрезок, соединяющий два основания и перпендикулярный каждому из них.

Онлайн-калькулятор

Усеченный конус может быть прямым, тогда у него центр одного основания проецируется в центр второго. Если конус наклонный, то такое проецирование не имеет места.

Рассмотрим прямой круговой конус. Объем данной фигуры может быть рассчитан несколькими способами.

Формула объема усеченного конуса через радиусы оснований и расстояние между ними

Если нам дан круговой усеченный конус, то найти его объем можно по формуле:

Объем усеченного конуса

V=13πh(r12+r1r2+r22)V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)

r1,r2r_1, r_2 — радиусы оснований конуса;
hh — расстояние между этими основаниями (высота усеченного конуса).

Рассмотрим пример.

Задача 1

Найдите объем усеченного конуса, если известно, что площадь малого основания равна 64π см264\pi\text{ см}^2, большого — 169π см2169\pi\text{ см}^2, а высота его равна 14 см14\text{ см}.

Решение

S1=64πS_1=64\pi
S2=169πS_2=169\pi
h=14h=14

Найдем радиус малого основания:

S1=πr12S_1=\pi\cdot r_1^2

64π=πr1264\pi=\pi\cdot r_1^2

64=r1264=r_1^2

r1=8r_1=8

Аналогично, для большого основания:

S2=πr22S_2=\pi\cdot r_2^2

169π=πr22169\pi=\pi\cdot r_2^2

169=r22169=r_2^2

r2=13r_2=13

Вычислим объем конуса:

V=13πh(r12+r1r2+r22)=13π14(82+813+132)4938 см3V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot14\cdot(8^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text{ см}^3

Ответ

4938 см3.4938\text{ см}^3.

Формула объема усеченного конуса через площади оснований и их расстояние до вершины

Пусть у нас есть усеченный конус. Мысленно добавим к нему недостающий кусок, тем самым делая из него “обычный конус” с вершиной. Тогда объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов с соответствующими основаниями и их расстоянием (высотой) до вершины конуса.

Объем усеченного конуса

V=13SH13sh=13(SHsh)V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H-\frac{1}{3}\cdot s\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h)

SS — площадь основания большого конуса;
HH — высота этого (большого) конуса;
ss — площадь основания малого конуса;
hh — высота этого (малого) конуса;

Задача 2

Определите объем усеченного конуса, если высота полного конуса HH равна 10 см10\text{ см}, радиус нижнего основания RR5 см5\text{ см}, верхнего rr4 см4\text{ см}, а высота усеченного конуса – 8 см8\text{ см}.

Решение

R=5R=5
r=4r=4
H=10H=10
Hh=8H-h=8,
где hh — высота малого конуса.

Найдем площади обоих оснований конуса:

S=πR2=π5278.5S=\pi\cdot R^2=\pi\cdot 5^2\approx78.5

s=πr2=π4250.24s=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 4^2\approx50.24

Найдем высоту малого конуса hh:

Hh=8H-h=8

h=H8h=H-8

h=108h=10-8

h=2h=2

Объем равен по формуле:

V=13(SHsh)13(78.51050.242)228 см3V=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx\frac{1}{3}\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx228\text{ см}^3

Ответ

228 см3.228\text{ см}^3.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как их избежать и на что обратить особое внимание?
378 +96
0
Список самых необычных предложений современного рынка труда.
423 +48
0
Как же справиться с чувством неутихающего волнения перед таким важным делом?
388 +25
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4940 +25
5
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ