Объем усеченного конуса

Содержание

Введите высоту и радиусы оснований:
Определение усеченного конуса

Усеченный конус можно получить из обычного конуса, если пересечь такой конус плоскостью, параллельной основанию. Тогда та фигура, которая находится между двумя плоскостями (этой плоскостью и основание обычного конуса) и будет называться усеченным конусом.

У него имеется два основания, которые для кругового конуса являются кругами, причем один из них больше другого. Также усеченный конус имеет высоту — отрезок, соединяющий два основания и перпендикулярный каждому из них.

Онлайн-калькулятор

Усеченный конус может быть прямым, тогда у него центр одного основания проецируется в центр второго. Если конус наклонный, то такое проецирование не имеет места.

Рассмотрим прямой круговой конус. Объем данной фигуры может быть рассчитан несколькими способами.

Формула объема усеченного конуса через радиусы оснований и расстояние между ними

Если нам дан круговой усеченный конус, то найти его объем можно по формуле:

Объем усеченного конуса

V=13πh(r12+r1r2+r22)V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)

r1,r2r_1, r_2 — радиусы оснований конуса;
hh — расстояние между этими основаниями (высота усеченного конуса).

Рассмотрим пример.

Задача 1

Найдите объем усеченного конуса, если известно, что площадь малого основания равна 64π см264\pi\text{ см}^2, большого — 169π см2169\pi\text{ см}^2, а высота его равна 14 см14\text{ см}.

Решение

S1=64πS_1=64\pi
S2=169πS_2=169\pi
h=14h=14

Найдем радиус малого основания:

S1=πr12S_1=\pi\cdot r_1^2

64π=πr1264\pi=\pi\cdot r_1^2

64=r1264=r_1^2

r1=8r_1=8

Аналогично, для большого основания:

S2=πr22S_2=\pi\cdot r_2^2

169π=πr22169\pi=\pi\cdot r_2^2

169=r22169=r_2^2

r2=13r_2=13

Вычислим объем конуса:

V=13πh(r12+r1r2+r22)=13π14(82+813+132)4938 см3V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot14\cdot(8^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text{ см}^3

Ответ

4938 см3.4938\text{ см}^3.

Формула объема усеченного конуса через площади оснований и их расстояние до вершины

Пусть у нас есть усеченный конус. Мысленно добавим к нему недостающий кусок, тем самым делая из него “обычный конус” с вершиной. Тогда объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов с соответствующими основаниями и их расстоянием (высотой) до вершины конуса.

Объем усеченного конуса

V=13SH13sh=13(SHsh)V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H-\frac{1}{3}\cdot s\cdot h=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h)

SS — площадь основания большого конуса;
HH — высота этого (большого) конуса;
ss — площадь основания малого конуса;
hh — высота этого (малого) конуса;

Задача 2

Определите объем усеченного конуса, если высота полного конуса HH равна 10 см10\text{ см}, радиус нижнего основания RR5 см5\text{ см}, верхнего rr4 см4\text{ см}, а высота усеченного конуса – 8 см8\text{ см}.

Решение

R=5R=5
r=4r=4
H=10H=10
Hh=8H-h=8,
где hh — высота малого конуса.

Найдем площади обоих оснований конуса:

S=πR2=π5278.5S=\pi\cdot R^2=\pi\cdot 5^2\approx78.5

s=πr2=π4250.24s=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 4^2\approx50.24

Найдем высоту малого конуса hh:

Hh=8H-h=8

h=H8h=H-8

h=108h=10-8

h=2h=2

Объем равен по формуле:

V=13(SHsh)13(78.51050.242)228 см3V=\frac{1}{3}\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx\frac{1}{3}\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx228\text{ см}^3

Ответ

228 см3.228\text{ см}^3.

+3
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1577 +149
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3510 +142
3
Подскользнуться или поскользнуться, едь или езжай?
1764 +71
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 784 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%