Площадь поверхности пирамиды

Содержание

Введите количество сторон, длину стороны и апофему:
Определение пирамиды

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы - это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

  1. Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
  2. Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
  3. Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

Sбок=12lpS_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p

ll — апофема пирамиды;
pp — периметр основания пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды:

S=Sбок+SоснS=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}

SбокS_{\text{бок}} — площадь боковой поверхности пирамиды;
SоснS_{\text{осн}} — площадь основания пирамиды.

Пример решения задачи.

Пример

Найти полную площадь треугольной пирамиды, если её апофема равна 8 (см.), а в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 3 (см.)

Решение

l=8l=8
a=3a=3

Найдем периметр основания. Так как в основании лежит равносторонний треугольник со стороной aa, то его периметр pp (сумма всех его сторон):

p=a+a+a=3a=33=9p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9

Тогда боковая площадь пирамиды:

Sбок=12lp=1289=36S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9=36 (см. кв.)

Теперь найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь треугольника. В нашем случае треугольник равносторонний и его площадь можно вычислить по формуле:

Sосн=3a24S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}

aa — сторона треугольника.

Получаем:

Sосн=3a24=33243.9S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 3^2}{4}\approx3.9 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн36+3.9=39.9S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\approx36+3.9=39.9 (см. кв.)

Ответ: 39.9 см. кв.

Еще один пример, немного сложнее.

Пример
площадь пирамиды

Основанием пирамиды является квадрат с площадью 36 (см. кв.). Апофема многогранника в 3 раза больше стороны основания aa. Найти полную площадь поверхности данной фигуры.

Решение

Sквад=36S_{\text{квад}}=36
l=3al=3\cdot a

Найдем сторону основания, то есть сторону квадрата. Его площадь и длина стороны связанны:

Sквад=a2S_{\text{квад}}=a^2
36=a236=a^2
a=6a=6

Найдем периметр основания пирамиды (то есть, периметр квадрата):

p=a+a+a+a=4a=46=24p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24

Найдем длину апофемы:

l=3a=36=18l=3\cdot a=3\cdot 6=18

В нашем случае:

Sквад=SоснS_{\text{квад}}=S_{\text{осн}}

Осталось найти только площадь боковой поверхности. По формуле:

Sбок=12lp=121824=216S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot l\cdot p=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 24=216 (см. кв.)

Полная площадь:

S=Sбок+Sосн=216+36=252S=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=216+36=252 (см. кв.)

Ответ: 252 см. кв.

4 Июл 2018 в 23:30
10 469
+4
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Площадь поверхности куба
Следующая статья
Площадь поверхности шара
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 799 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир