4722
28 Июн 2018 в 16:5028.06.2018 в 16:50

Площадь треугольника

Содержание

Выберите способ решения:
Введите длины сторон треугольника:
Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12ahS= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример
площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12105=25S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot 5=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p(pa)(pb)(pc)S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},

a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=\frac{1}{2}(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример
площадь треугольника

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=1212=6p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6(63)(64)(65)=36=6S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22sinβsinγsin(β+γ)S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)},

aa — длина стороны треугольника;
β,γ\beta, \gamma — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример
площадь треугольника

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30\beta=30^{\circ}
γ=30\gamma=30^{\circ}

По формуле:

S=1022sin30sin30sin(30+30)=5012314.4S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=abc4RS=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример
площадь треугольника

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=345410=6040=1.5S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=prS=p\cdot r,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример
площадь треугольника

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=\frac{3+4+5}{2}=6

S=62=12S=6\cdot 2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12bcsin(α)S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha),

b,cb, c — стороны треугольника;

α\alpha — угол между сторонами bb и cc.

Пример
площадь треугольника

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30\alpha=30^{\circ}

S=1256sin(30)=7.5S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

+0
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ