Производная показательной функции

Найдем производную функции $f(x)=a^x, a>0, a \ne 0$ и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная функции f(x)=a в степени x

Как известно, производной функции $f(x)$, определенной в точке $x_0$ и в некотором интервале, содержащем $x_0$, называют предел следующего вида:

$f^{'}(x_0)=\dfrac{df}{dx}\Bigr|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_0+ \Delta x)-f(x_0 )}{ \Delta x}$

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции $f(x)$ необходимо последовательно:

1. Записать выражение для приращения функции:

$\Delta f(x_0 )=f(x_0+\Delta x)-f(x_0 )$

1. Упростить, по возможности, дробь

$\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\dfrac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

1. Вычислить предел дроби при $\Delta x \to 0$ и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной показательной функции:

• Записываем приращение функции:

$\Delta f(x_0)= f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= a^{x_0+\Delta x}-a^{x_0}=a^{x_0} (a^{\Delta x}-1)$

• Получаем дробь:

$\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}= a^{x_0} \dfrac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

• Вычисляем производную:

$f'(x_0 )= \lim\limits_{\Delta x \to 0} {a^{x_0} \dfrac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}= a^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} {\dfrac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

Используем далее представление показательной функции с помощью экспоненты:

$a^x=e^{\ln {a} \cdot x}$

Тогда:

$f'(x_0 )= a^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} {\dfrac {e^{\ln {a} \cdot \Delta x}-1}{\Delta x}}= \ln {a} \cdot a^{x_0}\lim\limits_{t \to 0} {\dfrac {e^{t}-1} {t}}$

где $t = \ln {a} \cdot \Delta {x}$

Для преобразования $e^{t}$ используем представление числа $e \approx 2,71828$ (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

$e=\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {1}{n}} \Bigr) ^n$

Следовательно:

$e^{t} =\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {t}{n}} \Bigr) ^n$

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

$\Bigl( {1+\dfrac {t}{n}} \Bigr) ^n=1+C_n^1 \dfrac{t}{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^n$

Тогда:

$f'(x_0 )= \ln {a} \cdot a^{x_0}\lim\limits_{t \to 0}\dfrac {\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+C_n^1 \dfrac{t}{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^n }\Bigr)-1}{t} = \ln {a} \cdot a^{x_0}\lim\limits_{t \to 0}\Bigl( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {C_n^1 \dfrac{t}{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{t}{n}}\Bigr)^n }{t}\Bigr)= \ln {a} \cdot a^{x_0}\lim\limits_{t \to 0} \lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {C_n^1 \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{t^{n-1} }{n^n}}\Bigr)= \ln {a} \cdot a^{x_0}\lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{t \to 0} \Bigl( {n \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{t^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=\ln {a} \cdot a^{x_0} \Bigl( 1+ \lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{t \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{t^{n-1} }{n^n}}\Bigr) \Bigr)$

Учитывая, что:

$\lim\limits_{t \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{t^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{t^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=0$

получаем:

$f'(x_0 )= \ln {a} \cdot a^{x_0}(1+0)$

Таким образом:

$f'(x)= (a^{x})^{'}= a^{x} \ln {a}$

Как и следовало ожидать, при $a=e$ производная экспоненциальной функции $f(x)=e^x$ равна этой же функции:

$(e^x )'=e^x \ln {e}=e^x$

Некоторые свойства и практические примеры

• Угол наклона $\alpha$ касательной к графику функции $y=a^x$ в точке $x=x_0$ определяется соотношением:

$\tg \alpha =y^{'} (x_0 )= a^{x} \ln {a}$

Здесь угол $\alpha$ это угол между касательной и осью $Ox$ отсчитываемый от положительного направления $Ox$ против часовой стрелки.

Производная функции $f(x)=a^x$ в точке $x_0=0$ равна:

$f' (x_0 )=(a^x )_{x_0=0}'=a^0 \ln {a}=\ln {a}$

• Производная сложной функции

$y=a^{g(x)}$

согласно правил дифференцирования, равна:

$y'=g'(x) a^{g(x)} \ln {a}$

• Производная сложной функции

$y=u(v),$ где $v=a^x$

равна:

$y'=u'_v \cdot v'=u'_v \cdot a^x \ln {a}$

Пример 1

Зная производную экспоненты и используя правило для дифференцирования сложной функции, найти производную показательной функции.

Решение

Воспользуемся формулой для производной экспоненты:

$(e^x )'=e^x$

Тогда:

$(e^{g(x)})'=g'(x)e^{g(x)}$

Полагая:

$g(x)= x \ln {a}$

находим:

$(e^{x \ln {a}})'=(x \ln {a} )' e^{x \ln {a}}= \ln {a} \cdot e^{x \ln {a}}$

Учитывая, что

$e^{x \ln {a}}=a^{x}$

получаем:

$(a^x )'=a^x \ln {a}$

Как и следовало ожидать, результат совпадает с полученным ранее.

Пример 2

Найти производную функции

$f(x)=2^{3x^2-2x}$

Решение

$f'(x)= \Bigl( 2^{3x^2-2x} \Bigr)'=(3x^2-2x)' \cdot 2^{3x^2-2x} \ln {2}=(6x-2) \cdot 2^{3x^2-2x} \ln {2}$

Пример 3

Найти производную функции

$f(x)= \sin {x^{2x}}$

Решение

Полагаем $x^{2x}=v$

Тогда

$f'(x) = (\sin v)_v' \cdot v' = \cos v \cdot (x^{2x} )'=\cos (x^{2x}) \cdot (e^{2x \ln {x}})'= \cos (x^{2x}) \cdot (2x \ln {x})' \cdot e^{2x \ln {x}}= e^{2x \ln {x}} \cos (x^{2x}) \cdot (2 \ln {x}+2) = x^{2x}\cos (x^{2x}) \cdot (2 \ln {x}+2)$

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!