В настоящей статье рассматриваются функции ζ ( z ) \zeta(z) ζ ( z ) β ( z ) \beta(z) β ( z )
Дзета-функция Римана ζ ( z ) \zeta(z) ζ ( z ) L n Γ ( z ) \mathrm{Ln}\,\Gamma(z) L n Γ ( z ) ψ ( z ) \psi(z) ψ ( z ) «Представление гамма-функции и связанных с ней функций в виде сходящихся рядов»
Вывод формул настоящей статьи (который здесь опущен) можно найти в книгах:
Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, «Наука», 1973; 297 с.
Э.Т. Уиттекер, Дж .Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.
В формулах статьи используются числа Бернулли B 2 n B_{2 n} B 2 n B n ( α ) B_n (\alpha) B n ( α )
ζ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ k − z ( R e z > 1 ) , \zeta(z) = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-z} \qquad (\mathrm{Re}\, z>1) \;,
ζ ( z ) = k = 1 ∑ ∞ k − z ( R e z > 1 ) ,
β ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ⋅ ( 2 k + 1 ) − z ( R e z > 0 ) . \beta(z) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot (2 \,k +1)^{-z} \qquad (\mathrm{Re}\, z>0) \;.
β ( z ) = k = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) k ⋅ ( 2 k + 1 ) − z ( R e z > 0 ) .
ζ ( z ) = ∏ p ( 1 − p − z ) − 1 ( R e z > 1 ) , \zeta(z) =\prod_p (1 -p^{-z})^{-1}
\qquad (\mathrm{Re}\, z>1) \;,
ζ ( z ) = p ∏ ( 1 − p − z ) − 1 ( R e z > 1 ) ,
где произведение вычисляется по всем простым числам p p p
ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e t − 1 d t ( R e z > 1 ) , \zeta(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z-1) =\int_0^{\infty} \frac{ t^{z-1} }{e^t -1} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, z >1) \;,
ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) = ∫ 0 ∞ e t − 1 t z − 1 d t ( R e z > 1 ) ,
ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) ⋅ ( 1 − 2 1 − z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e t + 1 d t ( R e z > 0 ) , \zeta(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z-1)\cdot (1 -2^{1-z})
=\int_0^{\infty} \frac{ t^{z-1} }{e^t +1} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, z >0) \;,
ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) ⋅ ( 1 − 2 1 − z ) = ∫ 0 ∞ e t + 1 t z − 1 d t ( R e z > 0 ) ,
2 ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) ⋅ ( 1 − 2 − z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 sinh t d t ( R e z > 1 ) , 2 \,\zeta(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z-1)\cdot (1 -2^{-z})
=\int_0^{\infty} \frac{ t^{z-1} }{\sinh t} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, z >1) \;,
2 ζ ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) ⋅ ( 1 − 2 − z ) = ∫ 0 ∞ sinh t t z − 1 d t ( R e z > 1 ) ,
2 β ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 cosh t d t ( R e z > 0 ) . 2 \,\beta(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z-1)
=\int_0^{\infty} \frac{ t^{z-1} }{\cosh t} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, z >0) \;.
2 β ( z ) ⋅ Π ( z − 1 ) = ∫ 0 ∞ cosh t t z − 1 d t ( R e z > 0 ) .
Интегральные представления для ζ ( 2 n + 1 ) \zeta(2 \,n +1) ζ ( 2 n + 1 ) β ( 2 n ) \beta(2 \,n) β ( 2 n )
ζ ( 1 − z ) = 2 ( 2 π ) − z ⋅ cos ( z 2 π / 4 ) ⋅ Γ ( z ) ⋅ ζ ( z ) , \zeta(1-z) =2 \,(2\pi)^{-z} \cdot \cos(z \,2\pi/4) \cdot \Gamma(z) \cdot \zeta(z) \;,
ζ ( 1 − z ) = 2 ( 2 π ) − z ⋅ cos ( z 2 π / 4 ) ⋅ Γ ( z ) ⋅ ζ ( z ) ,
β ( 1 − z ) = ( 2 π / 4 ) − z ⋅ sin ( z 2 π / 4 ) ⋅ Γ ( z ) ⋅ β ( z ) . \beta(1-z) =(2\pi/4)^{-z} \cdot \sin(z \,2\pi/4) \cdot \Gamma(z) \cdot \beta(z) \;.
β ( 1 − z ) = ( 2 π / 4 ) − z ⋅ sin ( z 2 π / 4 ) ⋅ Γ ( z ) ⋅ β ( z ) .
Из первой приведенной здесь формулы следует
z ( z + 1 ) ⋅ ζ ( z + 2 ) ⋅ ζ ( 1 − z ) ζ ( z ) ⋅ ζ ( − 1 − z ) = − ( 2 π ) 2 . z \,(z+1) \cdot \frac{ \zeta(z+2) \cdot \zeta(1-z) }{ \zeta(z) \cdot \zeta(-1-z) }
=-(2\pi)^2 \;.
z ( z + 1 ) ⋅ ζ ( z ) ⋅ ζ ( − 1 − z ) ζ ( z + 2 ) ⋅ ζ ( 1 − z ) = − ( 2 π ) 2 .
ζ ( z ) \zeta(z) ζ ( z ) ( n = 1 , 2 , . . . ) (n=1,2,...) ( n = 1 , 2 , . . . )
ζ ( 0 ) = − 1 / 2 , d d z ζ ( z ) ∣ z = 0 = − ln 2 π , \zeta(0) =-1/2 \;,\qquad
\frac{d}{d z} \,\zeta(z)\big|_{z=0} =-\ln \sqrt{2\pi} \;,
ζ ( 0 ) = − 1 / 2 , d z d ζ ( z ) ∣ ∣ z = 0 = − ln 2 π ,
ζ ( 1 ) = ∞ , ζ ( − 2 n ) = 0 , \zeta(1) =\infty \;,\qquad
\zeta(-2 \,n) =0 \;,
ζ ( 1 ) = ∞ , ζ ( − 2 n ) = 0 ,
ζ ( 2 n ) = ( 2 π ) 2 n ∣ B 2 n ∣ 2 ( 2 n ) ! , \zeta(2 n) =\frac{ (2\pi)^{2 \,n} \,|B_{2 n}| }{2 \,(2 \,n)!} \;,
ζ ( 2 n ) = 2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n ∣ B 2 n ∣ ,
ζ ( 1 − 2 n ) = ( − 1 ) n ⋅ ∣ B 2 n ∣ 2 n , \zeta(1 -2 \,n) =(-1)^n \cdot \frac{ |B_{2 n}| }{2 n} \;,
ζ ( 1 − 2 n ) = ( − 1 ) n ⋅ 2 n ∣ B 2 n ∣ ,
ζ ( 2 n + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n + 1 2 ( 2 n + 1 ) ! ⋅ ∫ 0 1 B 2 n + 1 ( t ) tan ( π t ) d t \zeta(2 \,n +1) =\frac{ (-1)^{n+1} \,(2\pi)^{2 \,n +1} }{ 2 \,(2 \,n +1)! }\cdot
\int_0^1 \frac{ B_{2 n +1}(t) }{\tan(\pi \,t)} \,d t
ζ ( 2 n + 1 ) = 2 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n + 1 ⋅ ∫ 0 1 tan ( π t ) B 2 n + 1 ( t ) d t
В частности,
ζ ( 2 ) = ( 2 π ) 2 / 24 , ζ ( 4 ) = ( 2 π ) 4 / 1444 , \zeta(2) =(2\pi)^2 /24 \;,\quad
\zeta(4) =(2\pi)^4 /1444 \;,
ζ ( 2 ) = ( 2 π ) 2 / 2 4 , ζ ( 4 ) = ( 2 π ) 4 / 1 4 4 4 ,
ζ ( 6 ) = ( 2 π ) 6 / 60480 , ζ ( 8 ) = ( 2 π ) 8 / 2419200 . \zeta(6) =(2\pi)^6 /60480 \;,\quad
\zeta(8) =(2\pi)^8 /2419200 \;.
ζ ( 6 ) = ( 2 π ) 6 / 6 0 4 8 0 , ζ ( 8 ) = ( 2 π ) 8 / 2 4 1 9 2 0 0 .
β ( z ) \beta(z) β ( z ) β ( 2 n ) = ( − 1 ) n ⋅ π 2 n 4 ( 2 n − 1 ) ! ⋅ ∫ 0 1 E 2 n − 1 ( t ) cos ( π t ) d t ( n = 1 , 2 , . . . ) ; \beta(2 \,n) =\frac{ (-1)^n \cdot \pi^{2 \,n} }{ 4 \,(2 \,n -1)! }\cdot \int_0^1
\frac{ E_{2 \,n -1}(t) }{ \cos(\pi \,t) } \,dt
\qquad (n=1,2,...);
β ( 2 n ) = 4 ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n ⋅ π 2 n ⋅ ∫ 0 1 cos ( π t ) E 2 n − 1 ( t ) d t ( n = 1 , 2 , . . . ) ;
β ( 2 n + 1 ) = ( 2 π / 4 ) 2 n + 1 ⋅ ∣ E 2 n ∣ 2 ( 2 n ) ! ( n = 0 , 1 , . . . ) ; \beta(2 \,n +1) =\frac{ (2\pi/4)^{2 n +1}\cdot|E_{2 n}| }{ 2 \,(2 \,n)! }
\qquad (n=0,1,...);
β ( 2 n + 1 ) = 2 ( 2 n ) ! ( 2 π / 4 ) 2 n + 1 ⋅ ∣ E 2 n ∣ ( n = 0 , 1 , . . . ) ;
в частности,
β ( 1 ) = 2 π / 8 , β ( 3 ) = ( 2 π ) 3 / 256 . \beta(1) =2\pi /8 \;,\qquad
\beta(3) =(2\pi)^3 /256 \;.
β ( 1 ) = 2 π / 8 , β ( 3 ) = ( 2 π ) 3 / 2 5 6 .
∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k − z = ( 1 − 2 1 − z ) ζ ( z ) ( R e z > 0 ) ; \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \,k^{-z} =(1 -2^{1-z}) \,\zeta(z)
\qquad (\mathrm{Re}\, z >0);
k = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) k − 1 k − z = ( 1 − 2 1 − z ) ζ ( z ) ( R e z > 0 ) ;
∑ k = 0 ∞ ( 2 k + 1 ) − z = ( 1 − 2 − z ) ζ ( z ) ( R e z > 1 ) . \sum_{k=0}^{\infty} (2 k +1)^{-z} =(1 -2^{-z}) \,\zeta(z)
\qquad (\mathrm{Re}\, z >1).
k = 0 ∑ ∞ ( 2 k + 1 ) − z = ( 1 − 2 − z ) ζ ( z ) ( R e z > 1 ) .
Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого !
Комментарии