В настоящей статье приведены важнейшие функциональные уравнения для функций Γ ( z ) \Gamma(z) Γ ( z ) ψ ( z ) = ( d / d z ) L n Γ ( z ) \psi(z) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z) ψ ( z ) = ( d / d z ) L n Γ ( z ) Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) \mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1) Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 ) = ( d / d z ) L n Γ ( z + 1 ) \Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1) Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 ) = ( d / d z ) L n Γ ( z + 1 )
В формулах используются функция Похгамера и модифицированная функция Похгамера
F m ( z ) ≡ ∏ j = 0 m − 1 ( z + j ) , F ~ m ( z ) ≡ ( − 1 ) m ⋅ F m ( − z ) = ∏ j = 0 m − 1 ( z − j ) . \mathcal{F}_m (z)\equiv \prod_{j=0}^{m-1}(z+j) \;,\qquad
\widetilde{\mathcal{F}}_m (z)\equiv (-1)^m \cdot \mathcal{F}_m (-z) =\prod_{j=0}^{m-1}(z-j) \;.
F m ( z ) ≡ j = 0 ∏ m − 1 ( z + j ) , F m ( z ) ≡ ( − 1 ) m ⋅ F m ( − z ) = j = 0 ∏ m − 1 ( z − j ) .
Π ( z + 1 ) = ( z + 1 ) ⋅ Π ( z ) , Π ( z − 1 ) = Π ( z ) / z , \mathbf{\Pi}(z+1) =(z+1)\cdot \mathbf{\Pi}(z) \;,\qquad
\mathbf{\Pi}(z-1) =\mathbf{\Pi}(z)/z \;,
Π ( z + 1 ) = ( z + 1 ) ⋅ Π ( z ) , Π ( z − 1 ) = Π ( z ) / z ,
Π ( z + m ) = Π ( z ) ⋅ F m ( z + 1 ) = Π ( z ) ⋅ ∏ k = 1 m ( z + k ) , \mathbf{\Pi}(z+m) =\mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathcal{F}_m (z+1)
=\mathbf{\Pi}(z)\cdot \prod_{k=1}^{m} (z+k) \;,
Π ( z + m ) = Π ( z ) ⋅ F m ( z + 1 ) = Π ( z ) ⋅ k = 1 ∏ m ( z + k ) ,
Π ( z − m ) = Π ( z ) / F ~ m ( z ) = Π ( z ) ⋅ ∏ k = 0 m − 1 ( z − k ) − 1 \mathbf{\Pi}(z-m) =\mathbf{\Pi}(z)/\widetilde{\mathcal{F}}_m (z) =\mathbf{\Pi}(z)\cdot \prod_{k=0}^{m-1} (z-k)^{-1}
Π ( z − m ) = Π ( z ) / F m ( z ) = Π ( z ) ⋅ k = 0 ∏ m − 1 ( z − k ) − 1
( m = 1 , 2 , . . . ) (m=1,2,...) ( m = 1 , 2 , . . . )
Данные формулы могут быть иначе записаны в виде
Γ ( z + 1 ) = z ⋅ Γ ( z ) , Γ ( z − 1 ) = Γ ( z ) / ( z − 1 ) , \Gamma(z+1) =z\cdot \Gamma(z) \;,\qquad
\Gamma(z-1) =\Gamma(z)/(z-1) \;,
Γ ( z + 1 ) = z ⋅ Γ ( z ) , Γ ( z − 1 ) = Γ ( z ) / ( z − 1 ) ,
Γ ( z + m ) = Γ ( z ) ⋅ F m ( z ) = Γ ( z ) ⋅ ∏ k = 0 m − 1 ( z + k ) , \Gamma(z+m) =\Gamma(z)\cdot \mathcal{F}_m (z)
=\Gamma(z)\cdot \prod_{k=0}^{m-1} (z+k) \;,
Γ ( z + m ) = Γ ( z ) ⋅ F m ( z ) = Γ ( z ) ⋅ k = 0 ∏ m − 1 ( z + k ) ,
Γ ( z − m ) = Γ ( z ) / F ~ m ( z − 1 ) = Γ ( z ) ⋅ ∏ k = 1 m ( z − k ) − 1 \Gamma(z-m) =\Gamma(z)/\widetilde{\mathcal{F}}_m (z-1) =\Gamma(z)\cdot \prod_{k=1}^{m} (z-k)^{-1}
Γ ( z − m ) = Γ ( z ) / F m ( z − 1 ) = Γ ( z ) ⋅ k = 1 ∏ m ( z − k ) − 1
( m = 1 , 2 , . . . ) (m=1,2,...) ( m = 1 , 2 , . . . )
< < << < <
Вывод формулы для Π ( z + 1 ) \mathbf{\Pi}(z+1) Π ( z + 1 )
> > >> > >
Ψ ( z + 1 ) = Ψ ( z ) + ( z + 1 ) − 1 , Ψ ( z − 1 ) = Ψ ( z ) − z − 1 , \Psi(z+1) = \Psi(z) +(z+1)^{-1} \;,
\Psi(z-1) = \Psi(z) -z^{-1} \;,
Ψ ( z + 1 ) = Ψ ( z ) + ( z + 1 ) − 1 , Ψ ( z − 1 ) = Ψ ( z ) − z − 1 ,
Ψ ( z + m ) = Ψ ( z ) + ∑ k = 1 m ( z + k ) − 1 , Ψ ( z − m ) = Ψ ( z ) − ∑ k = 0 m − 1 ( z − k ) − 1 \Psi(z+m) = \Psi(z) +\sum_{k=1}^{m} (z+k)^{-1} \;,
\Psi(z-m) = \Psi(z) -\sum_{k=0}^{m-1} (z-k)^{-1}
Ψ ( z + m ) = Ψ ( z ) + k = 1 ∑ m ( z + k ) − 1 , Ψ ( z − m ) = Ψ ( z ) − k = 0 ∑ m − 1 ( z − k ) − 1
( m = 1 , 2 , . . . ) (m=1,2,...) ( m = 1 , 2 , . . . )
Данные формулы могут быть иначе записаны в виде
ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 / z , ψ ( z − 1 ) = ψ ( z ) − 1 / ( z − 1 ) , \psi(z+1) = \psi(z) +1/z \;,
\psi(z-1) = \psi(z) -1/(z-1) \;,
ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 / z , ψ ( z − 1 ) = ψ ( z ) − 1 / ( z − 1 ) ,
ψ ( z + m ) = ψ ( z ) + ∑ k = 0 m − 1 ( z + k ) − 1 , ψ ( z − m ) = ψ ( z ) − ∑ k = 1 m ( z − k ) − 1 \psi(z+m) = \psi(z) +\sum_{k=0}^{m-1} (z+k)^{-1} \;,
\psi(z-m) = \psi(z) -\sum_{k=1}^{m} (z-k)^{-1}
ψ ( z + m ) = ψ ( z ) + k = 0 ∑ m − 1 ( z + k ) − 1 , ψ ( z − m ) = ψ ( z ) − k = 1 ∑ m ( z − k ) − 1
( m = 1 , 2 , . . . ) (m=1,2,...) ( m = 1 , 2 , . . . )
Π ( z ) ⋅ Π ( − z ) = Γ ( 1 + z ) ⋅ Γ ( 1 − z ) = π z sin ( π z ) , \mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(-z) =\Gamma(1 +z)\cdot \Gamma(1 -z) =\frac{\pi \,z}{\sin(\pi \,z)} \;,
Π ( z ) ⋅ Π ( − z ) = Γ ( 1 + z ) ⋅ Γ ( 1 − z ) = sin ( π z ) π z ,
Ψ ( − z ) − Ψ ( z − 1 ) = ψ ( 1 − z ) − ψ ( z ) = π tan ( π z ) . \Psi(-z) -\Psi(z-1) =\psi(1 -z) -\psi(z) =\frac{\pi}{\tan(\pi \,z)} \;.
Ψ ( − z ) − Ψ ( z − 1 ) = ψ ( 1 − z ) − ψ ( z ) = tan ( π z ) π .
С помощью данных формул можно также получить
Π ( − 1 / 2 + z ) ⋅ Π ( − 1 / 2 − z ) = Γ ( 1 / 2 + z ) ⋅ Γ ( 1 / 2 − z ) = π cos ( π z ) , \mathbf{\Pi}(-1/2 +z)\cdot \mathbf{\Pi}(-1/2 -z) =\Gamma(1/2 +z)\cdot \Gamma(1/2 -z) =\frac{\pi}{\cos(\pi \,z)} \;,
Π ( − 1 / 2 + z ) ⋅ Π ( − 1 / 2 − z ) = Γ ( 1 / 2 + z ) ⋅ Γ ( 1 / 2 − z ) = cos ( π z ) π ,
Ψ ( − 1 / 2 + z ) − Ψ ( − 1 / 2 − z ) = ψ ( 1 / 2 + z ) − ψ ( 1 / 2 − z ) = π tan ( π z ) ; \Psi(-1/2 +z) -\Psi(-1/2 -z) =\psi(1/2 +z) -\psi(1/2 -z) =\pi \,\tan(\pi z) \;;
Ψ ( − 1 / 2 + z ) − Ψ ( − 1 / 2 − z ) = ψ ( 1 / 2 + z ) − ψ ( 1 / 2 − z ) = π tan ( π z ) ;
Π ( i z ) ⋅ Π ( − i z ) = Γ ( 1 + i z ) ⋅ Γ ( 1 − i z ) = π z sinh ( π z ) , \mathbf{\Pi}(i \,z)\cdot \mathbf{\Pi}(-i \,z) =\Gamma(1 +i \,z)\cdot \Gamma(1 -i \,z) =\frac{\pi \,z}{\sinh(\pi \,z)} \;,
Π ( i z ) ⋅ Π ( − i z ) = Γ ( 1 + i z ) ⋅ Γ ( 1 − i z ) = sinh ( π z ) π z ,
∣ Π ( i y ) ∣ 2 = π y sinh ( π y ) , ∣ Π ( − 1 / 2 + i y ) ∣ 2 = π cosh ( π y ) , \bigl|\mathbf{\Pi}(i \,y)\bigl|^2 =\frac{\pi \,y}{ \sinh(\pi \,y)} \;,\qquad
\bigl|\mathbf{\Pi}(-1/2 +i \,y)\bigl|^2 =\frac{\pi}{\cosh(\pi \,y)} \;,
∣ ∣ Π ( i y ) ∣ ∣ 2 = sinh ( π y ) π y , ∣ ∣ Π ( − 1 / 2 + i y ) ∣ ∣ 2 = cosh ( π y ) π ,
I m ( Ψ ( i y ) ) = − 1 2 y + 2 π / 4 tanh ( π y ) , I m ( Ψ ( − 1 / 2 + i y ) ) = 2 π 4 tanh ( π y ) \mathrm{Im}\,\bigl(\Psi(i \,y)\bigr) =-\frac{1}{2 \,y} +\frac{2\pi/4}{\tanh(\pi \,y)} \;,\qquad
\mathrm{Im}\,\bigl(\Psi(-1/2 +i \,y)\bigr) =\frac{2\pi}{4} \,\tanh(\pi \,y)
I m ( Ψ ( i y ) ) = − 2 y 1 + tanh ( π y ) 2 π / 4 , I m ( Ψ ( − 1 / 2 + i y ) ) = 4 2 π tanh ( π y )
(y y y
< < << < <
Вывод формулы симметрии для Π ( z ) \mathbf{\Pi}(z) Π ( z )
> > >> > >
Формулы умножения для функций Γ ( z ) \Gamma(z) Γ ( z ) Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) \mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z+1) Π ( z ) = Γ ( z + 1 )
Γ ( m z ) = ( 2 π ) ( 1 − m ) / 2 ⋅ m m z − 1 / 2 ⋅ ∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k / m ) , \Gamma(m \,z) =(2\pi)^{(1-m)/2}\cdot m^{m \,z -1/2}\cdot
\prod_{k=0}^{m-1} \Gamma(z +k/m) \;,
Γ ( m z ) = ( 2 π ) ( 1 − m ) / 2 ⋅ m m z − 1 / 2 ⋅ k = 0 ∏ m − 1 Γ ( z + k / m ) ,
Π ( m z ) = ( 2 π ) ( 1 − m ) / 2 ⋅ m 1 / 2 + m z ⋅ ∏ k = 0 m − 1 Π ( z − k / m ) . \mathbf{\Pi}(m \,z) =(2\pi)^{(1-m)/2} \cdot m^{1/2 +m \,z}\cdot
\prod_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z -k/m) \;.
Π ( m z ) = ( 2 π ) ( 1 − m ) / 2 ⋅ m 1 / 2 + m z ⋅ k = 0 ∏ m − 1 Π ( z − k / m ) .
Формулы умножения для функций ψ ( z ) \psi(z) ψ ( z ) Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 ) \Psi(z) =\psi(z+1) Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 )
ψ ( m z ) = ln m + 1 m ∑ k = 0 m − 1 ψ ( z + k / m ) , \psi(m \,z) =\ln m +\frac{1}{m} \,\sum_{k=0}^{m-1} \psi(z +k/m) \;,
ψ ( m z ) = ln m + m 1 k = 0 ∑ m − 1 ψ ( z + k / m ) ,
Ψ ( m z ) = ln m + 1 m ∑ k = 0 m − 1 Ψ ( z − k / m ) . \Psi(m \,z) =\ln m +\frac{1}{m} \,\sum_{k=0}^{m-1} \Psi(z -k/m) \;.
Ψ ( m z ) = ln m + m 1 k = 0 ∑ m − 1 Ψ ( z − k / m ) .
Формулы удвоения для функций Γ ( z ) \Gamma(z) Γ ( z ) Π ( z ) \mathbf{\Pi}(z) Π ( z )
Γ ( 2 z ) = ( 2 π ) − 1 / 2 ⋅ 2 2 z − 1 / 2 ⋅ Γ ( z ) ⋅ Γ ( z + 1 / 2 ) , \Gamma(2 \,z) =(2\pi)^{-1/2}\cdot 2^{2 \,z -1/2}\cdot \Gamma(z)\cdot \Gamma(z +1/2) \;,
Γ ( 2 z ) = ( 2 π ) − 1 / 2 ⋅ 2 2 z − 1 / 2 ⋅ Γ ( z ) ⋅ Γ ( z + 1 / 2 ) ,
Π ( 2 z ) = ( 2 π ) − 1 / 2 ⋅ 2 1 / 2 + 2 z ⋅ Π ( z ) ⋅ Π ( z − 1 / 2 ) . \mathbf{\Pi}(2 \,z) =(2\pi)^{-1/2}\cdot 2^{1/2 +2 \,z}\cdot \mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z -1/2) \;.
Π ( 2 z ) = ( 2 π ) − 1 / 2 ⋅ 2 1 / 2 + 2 z ⋅ Π ( z ) ⋅ Π ( z − 1 / 2 ) .
Формулы удвоения для функций ψ ( z ) \psi(z) ψ ( z ) Ψ ( z ) \Psi(z) Ψ ( z )
ψ ( 2 z ) = ln 2 + 1 2 ψ ( z ) + 1 2 ψ ( z + 1 / 2 ) , \psi(2 \,z) =\ln 2 +\frac{1}{2} \,\psi(z) +\frac{1}{2} \,\psi(z +1/2) \;,
ψ ( 2 z ) = ln 2 + 2 1 ψ ( z ) + 2 1 ψ ( z + 1 / 2 ) ,
Ψ ( 2 z ) = ln 2 + 1 2 Ψ ( z ) + 1 2 Ψ ( z − 1 / 2 ) . \Psi(2 \,z) =\ln 2 +\frac{1}{2} \,\Psi(z) +\frac{1}{2} \,\Psi(z -1/2) \;.
Ψ ( 2 z ) = ln 2 + 2 1 Ψ ( z ) + 2 1 Ψ ( z − 1 / 2 ) .
< < << < <
Вывод формулы a) см. в приложении A.2.
> > >> > >
z α ⋅ ( − z ) − α Π ( − β ) ⋅ Π ( β − 1 ) − z β ⋅ ( − z ) − β Π ( − α ) ⋅ Π ( α − 1 ) = 1 Π ( α − β ) ⋅ Π ( β − α − 1 ) , \frac{ z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} }{ \mathbf{\Pi}(-\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -1) }
-\frac{ z^{\beta}\cdot (-z)^{-\beta} }{ \mathbf{\Pi}(-\alpha)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha -1) }
=\frac{1}{ \mathbf{\Pi}(\alpha -\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -\alpha -1) } \;,
Π ( − β ) ⋅ Π ( β − 1 ) z α ⋅ ( − z ) − α − Π ( − α ) ⋅ Π ( α − 1 ) z β ⋅ ( − z ) − β = Π ( α − β ) ⋅ Π ( β − α − 1 ) 1 ,
z α ⋅ ( − z ) − α Π ( − β ) ⋅ Π ( β − 1 ) + z − β ⋅ ( − z ) β Π ( − α ) ⋅ Π ( α − 1 ) = 1 Π ( − α − β ) ⋅ Π ( α + β − 1 ) . \frac{ z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} }{ \mathbf{\Pi}(-\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -1) }
+\frac{ z^{-\beta}\cdot (-z)^{\beta} }{ \mathbf{\Pi}(-\alpha)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha -1) }
=\frac{1}{ \mathbf{\Pi}(-\alpha -\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1) } \;.
Π ( − β ) ⋅ Π ( β − 1 ) z α ⋅ ( − z ) − α + Π ( − α ) ⋅ Π ( α − 1 ) z − β ⋅ ( − z ) β = Π ( − α − β ) ⋅ Π ( α + β − 1 ) 1 .
< < << < <
Вывод первой из данных формул см. в приложении A.3.; вторая формула выводится аналогично.
> > >> > >
Здесь будут выведены формулы из пп. 1 и 3.
Первая формула п. 1 может быть доказана следующим образом:
1 Π ( z ) = lim M → ∞ ( M + 1 ) − z ( M + 1 ) ! ⋅ ∏ k = 1 M + 1 ( z + k ) \frac{1}{\mathbf{\Pi}(z)} = \lim_{M\to \infty} \frac{ (M+1)^{-z} }{(M+1)!}\cdot
\prod_{k=1}^{M+1} (z+k)
Π ( z ) 1 = M → ∞ lim ( M + 1 ) ! ( M + 1 ) − z ⋅ k = 1 ∏ M + 1 ( z + k )
= ( z + 1 ) ⋅ lim M → ∞ ( M + 1 ) − z ( M + 1 ) ! ⋅ ∏ k = 1 M ( z + k + 1 ) , =(z+1)\cdot \lim_{M\to \infty} \frac{ (M+1)^{-z} }{(M+1)!}\cdot
\prod_{k=1}^{M} (z+k+1) \;,
= ( z + 1 ) ⋅ M → ∞ lim ( M + 1 ) ! ( M + 1 ) − z ⋅ k = 1 ∏ M ( z + k + 1 ) ,
1 Π ( z + 1 ) = lim M → ∞ M − z − 1 M ! ⋅ ∏ k = 1 M ( z + k + 1 ) , \frac{1}{\mathbf{\Pi}(z+1)} = \lim_{M\to \infty} \frac{ M^{-z-1} }{M!}\cdot
\prod_{k=1}^{M} (z+k+1) \;,
Π ( z + 1 ) 1 = M → ∞ lim M ! M − z − 1 ⋅ k = 1 ∏ M ( z + k + 1 ) ,
легко получаем
Π ( z + 1 ) / Π ( z ) = z + 1 . \mathbf{\Pi}(z+1)/\mathbf{\Pi}(z) =z+1 \;.
Π ( z + 1 ) / Π ( z ) = z + 1 .
Первая формула п. 3 может быть доказана следующим образом:
1 / ( Π ( z ) ⋅ Π ( − z ) ) = lim m → ∞ ∏ k = 1 m ( 1 − ( z / k ) 2 ) = sin ( π z ) π z . 1/\bigl(\mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(-z)\bigr)
=\lim_{m\to \infty} \prod_{k=1}^{m}
\bigl(1 -(z/k)^2\bigr) =\frac{\sin(\pi z)}{\pi \,z} \;.
1 / ( Π ( z ) ⋅ Π ( − z ) ) = m → ∞ lim k = 1 ∏ m ( 1 − ( z / k ) 2 ) = π z sin ( π z ) .
Здесь использовано представление синуса в виде бесконечного произведения.
Здесь будет выведена формула из п. 4.
Используя формулу, определяющую функцию Π ( z ) \mathbf{\Pi}(z) Π ( z ) «Простейшие свойства факториала и гамма-функции»
Π ( z ) = lim N → ∞ N ! ⋅ N z ⋅ ∏ j = 1 N ( z + j ) − 1 ( ∣ z ∣ < ∞ ) \mathbf{\Pi}(z) =\lim_{N\to \infty} N! \cdot N^z \cdot\prod_{j=1}^{N} (z+j)^{-1}
\qquad (|z|<\infty)
Π ( z ) = N → ∞ lim N ! ⋅ N z ⋅ j = 1 ∏ N ( z + j ) − 1 ( ∣ z ∣ < ∞ )
получим
Π ( m z ) = lim N → ∞ ( m N ) ! ⋅ ( m N ) m z ⋅ ∏ j = 1 m N ( m z + j ) − 1 \mathbf{\Pi}(mz) =\lim_{N\to \infty} (m \,N)! \cdot (m \,N)^{m \,z}\cdot
\prod_{j=1}^{m \,N} (m \,z +j)^{-1}
Π ( m z ) = N → ∞ lim ( m N ) ! ⋅ ( m N ) m z ⋅ j = 1 ∏ m N ( m z + j ) − 1
и
Π ( z − k / m ) = lim N → ∞ N ! ⋅ m N ⋅ N z − k / m ⋅ ∏ j = 1 N ( m z + m j − k ) − 1 , \mathbf{\Pi}(z -k/m) = \lim_{N\to \infty} N! \cdot m^N \cdot N^{z-k/m} \cdot
\prod_{j=1}^{N} (m \,z +m \,j -k)^{-1} \;,
Π ( z − k / m ) = N → ∞ lim N ! ⋅ m N ⋅ N z − k / m ⋅ j = 1 ∏ N ( m z + m j − k ) − 1 ,
∏ k = 0 m − 1 Π ( z − k / m ) = lim N → ∞ ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N m z − m / 2 + 1 / 2 ⋅ ∏ k = 0 m − 1 ∏ j = 1 N ( m z + m j − k ) − 1 \prod_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z-k/m) = \lim_{N\to \infty} (N!)^m \cdot m^{m \,N}
\cdot N^{m \,z -m/2 +1/2} \cdot
\prod_{k=0}^{m-1} \prod_{j=1}^{N} (m \,z +m \,j -k)^{-1}
k = 0 ∏ m − 1 Π ( z − k / m ) = N → ∞ lim ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N m z − m / 2 + 1 / 2 ⋅ k = 0 ∏ m − 1 j = 1 ∏ N ( m z + m j − k ) − 1
= lim N → ∞ ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N m z − m / 2 + 1 / 2 ⋅ ∏ j = 1 m N ( m z + j ) − 1 . =\lim_{N\to \infty} (N!)^m \cdot m^{m \,N} \cdot N^{m \,z -m/2 +1/2} \cdot
\prod_{j=1}^{m \,N} (m \,z +j)^{-1} \;.
= N → ∞ lim ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N m z − m / 2 + 1 / 2 ⋅ j = 1 ∏ m N ( m z + j ) − 1 .
Обозначим
A m ≡ ∏ k = 0 m − 1 Π ( z − k / m ) ⋅ m m z Π ( m z ) = lim N → ∞ ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N − m / 2 + 1 / 2 ( m N ) ! . A_m \equiv \frac{ \prod\limits_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z -k/m)\cdot m^{m \,z} }{ \mathbf{\Pi}(m \,z) }
=\lim_{N\to \infty} \frac{ (N!)^m \cdot m^{m \,N} \cdot N^{-m/2 +1/2} }{(m \,N)!} \;.
A m ≡ Π ( m z ) k = 0 ∏ m − 1 Π ( z − k / m ) ⋅ m m z = N → ∞ lim ( m N ) ! ( N ! ) m ⋅ m m N ⋅ N − m / 2 + 1 / 2 .
Очевидно, что A m A_m A m z z z z = 0 z=0 z = 0
A m = ∏ k = 1 m − 1 Π ( − k / m ) = ∏ k = 1 m − 1 Π ( k / m − 1 ) , A_m =\prod_{k=1}^{m-1} \mathbf{\Pi}(-k/m) =\prod_{k=1}^{m-1} \mathbf{\Pi}(k/m -1) \;,
A m = k = 1 ∏ m − 1 Π ( − k / m ) = k = 1 ∏ m − 1 Π ( k / m − 1 ) ,
A m 2 = ∏ k = 1 m − 1 ( Π ( − k / m ) ⋅ Π ( k / m − 1 ) ) = ∏ k = 1 m − 1 2 π ⋅ ( 2 ⋅ sin ( π k / m ) ) − 1 . A_m^2 =\prod_{k=1}^{m-1} \bigl(\mathbf{\Pi}(-k/m)\cdot\mathbf{\Pi}(k/m -1)\bigr)
=\prod_{k=1}^{m-1} 2\pi \cdot \bigl(2\cdot \sin(\pi \,k/m)\bigr)^{-1} \;.
A m 2 = k = 1 ∏ m − 1 ( Π ( − k / m ) ⋅ Π ( k / m − 1 ) ) = k = 1 ∏ m − 1 2 π ⋅ ( 2 ⋅ sin ( π k / m ) ) − 1 .
Воспользовавшись приведенной ниже вспомогательной формулой, получим
A m = m − 1 / 2 ⋅ ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 , A_m =m^{-1/2}\cdot (2\pi)^{(m-1)/2} \;,
A m = m − 1 / 2 ⋅ ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 ,
откуда следует необходимый результат. Выражение для A m A_m A m
Вспомогательная формула:
∏ k = 1 m − 1 sin ( π k / m ) = 2 1 − m m . \prod_{k=1}^{m-1} \sin(\pi \,k/m) =2^{1-m} \,m \;.
k = 1 ∏ m − 1 sin ( π k / m ) = 2 1 − m m .
Данная формула выводится следующим образом:
Обозначим левую часть равенства через U U U
U = ∏ k = 1 m − 1 1 2 i ( e i π k / m − e − i π k / m ) = U 1 ⋅ U 2 , U =\prod_{k=1}^{m-1} \frac{1}{2 \,i} \,\bigl(e^{i \,\pi \,k/m} -e^{-i \,\pi \,k/m}\bigr)
=U_1 \cdot U_2 \;,
U = k = 1 ∏ m − 1 2 i 1 ( e i π k / m − e − i π k / m ) = U 1 ⋅ U 2 ,
где
U 1 = 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ exp ( − ∑ k = 1 m − 1 i π k / m ) = 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ exp ( − i 2 π 4 ( m − 1 ) ) U_1 =2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot \exp\left(-\sum_{k=1}^{m-1} i \,\pi \,k /m\right)
=2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot \exp\Bigl(-i \,\frac{2\pi}{4} \,(m-1)\Bigr)
U 1 = 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ exp ( − k = 1 ∑ m − 1 i π k / m ) = 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ exp ( − i 4 2 π ( m − 1 ) )
= 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ ( − i ) m − 1 = 2 − ( m − 1 ) , =2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot (-i)^{m-1}
=2^{-(m-1)} \;,
= 2 − ( m − 1 ) ⋅ i m − 1 ⋅ ( − i ) m − 1 = 2 − ( m − 1 ) ,
и
U 2 = ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − e i 2 π k / m ) . U_2 =\prod_{k=1}^{m-1} \bigl(1 -e^{i \,2\pi \,k/m}\bigr) \;.
U 2 = k = 1 ∏ m − 1 ( 1 − e i 2 π k / m ) .
Числа
z k = e i 2 π k / m ( k = 0 , . . . , m − 1 ) z_k =e^{i \,2\pi \,k/m} \qquad (k =0,...,m-1)
z k = e i 2 π k / m ( k = 0 , . . . , m − 1 )
являются нулями полинома z m − 1 z^m -1 z m − 1
∏ k = 0 m − 1 ( z − z k ) = z m − 1 , \prod_{k=0}^{m-1} (z -z_k) =z^m -1 \;,
k = 0 ∏ m − 1 ( z − z k ) = z m − 1 ,
а поскольку z 0 = 1 z_0 =1 z 0 = 1
∏ k = 1 m − 1 ( z − z k ) = z m − 1 z − 1 ( z ≠ 1 ) . \prod_{k=1}^{m-1} (z -z_k) =\frac{z^m -1}{z-1} \qquad (z\ne 1) \;.
k = 1 ∏ m − 1 ( z − z k ) = z − 1 z m − 1 ( z = 1 ) .
Переходя в последнем равенстве к пределу при z → 1 z\to 1 z → 1
U 2 = ∏ k = 1 m − 1 ( 1 − z k ) = m , U_2 =\prod_{k=1}^{m-1} (1 -z_k) =m \;,
U 2 = k = 1 ∏ m − 1 ( 1 − z k ) = m ,
откуда следует необходимый результат.
Здесь будет выведена формула п. 5-a).
Легко проверить, что
z α ⋅ ( − z ) − α = e i α ( arg z − arg ( − z ) ) = e i 2 π α m / 2 , z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} =e^{i \,\alpha \,\bigl(\arg z -\arg(-z)\bigr)}
=e^{i \,2\pi \,\alpha m/2} \;,
z α ⋅ ( − z ) − α = e i α ( arg z − arg ( − z ) ) = e i 2 π α m / 2 ,
где
m = { 1 п р и arg z > 0 , − 1 п р и arg z ≤ 0 . m =
\begin{cases}
1 & \ {при } \arg z >0 \;,\\
-1 & \ {при } \arg z \le 0 \;.
\end{cases}
m = { 1 − 1 п р и arg z > 0 , п р и arg z ≤ 0 .
Левую часть равенства п.~5-a) можно представить в виде
2 ( 2 π ) − 1 ⋅ ( e i π α m ⋅ sin ( π β ) − e i π β m ⋅ sin ( π α ) ) 2 \,(2\pi)^{-1}\cdot \bigl(e^{i \,\pi \,\alpha \,m} \cdot \sin(\pi \,\beta)
-e^{i \,\pi \,\beta \,m} \cdot \sin(\pi \,\alpha)\bigr)
2 ( 2 π ) − 1 ⋅ ( e i π α m ⋅ sin ( π β ) − e i π β m ⋅ sin ( π α ) )
= ( 2 π i ) − 1 ⋅ ( e i π ( α m + β ) − e i π ( α m − β ) =(2\pi \,i)^{-1}\cdot \bigl(e^{i \,\pi(\alpha \,m +\beta)}
-e^{i \,\pi \,(\alpha \,m -\beta)}
= ( 2 π i ) − 1 ⋅ ( e i π ( α m + β ) − e i π ( α m − β )
− e i π ( β m + α ) + e i π ( β m − α ) ) . -e^{i \,\pi \,(\beta \,m +\alpha)} + e^{i \,\pi \,(\beta \,m -\alpha)}\bigr) \;.
− e i π ( β m + α ) + e i π ( β m − α ) ) .
Рассмотрев отдельно случаи m = 1 m=1 m = 1 m = − 1 m=-1 m = − 1
Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.
Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра . – Москва, «Наука», 1973; 297с. Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.
http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.
А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.
Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.
Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого !
Комментарии