Значения гамма-функции и пси-функции при частных значениях аргумента

В настоящей статье приведены значения функций $\Gamma(x)$, $\psi(x) =(d /d x) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(x)$, $\mathbf{\Pi}(x) =\Gamma(x +1)$ и $\Psi(x) =\psi(x+1)$ для целых и полуцелых значений их аргументов, а также значения функций $\psi(x)$ и $\Psi(x)$ для любых рациональных значений их аргументов.

В формулах используются постоянная Эйлера-Маскерони $c_{\scriptscriptstyle E}$ и функция Похгамера

$\mathcal{F}_m (z)\equiv \prod_{k=0}^{m-1}(z+k) \;.$

Значения функций Γ(x) и Π(x) для целых и полуцелых значений аргумента

$\mathbf{\Pi}(0) =\mathbf{\Pi}(1) =1 \;, \qquad \Gamma(1) =\Gamma(2) =1 \;,$

$\mathbf{\Pi}(m) =\Gamma(m+1) =m! =\prod_{k=1}^{m} k = 1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot m \qquad (m=1,2,3,...) \;,$

$\mathbf{\Pi}(-1/2) =\Gamma(1/2) =\sqrt{\pi} \;,$

$\mathbf{\Pi}(m -1/2) =\Gamma(m +1/2) =\mathcal{F}_m (1/2)\cdot \sqrt{\pi} =\sqrt{\pi}\cdot \frac{(2 \,m)!}{m! \,4^m} \;,$

$\mathbf{\Pi}(-m -1/2) =\Gamma(-m +1/2) =(-1)^m \cdot \frac{ \sqrt{\pi} }{ \mathcal{F}_m (1/2) } =(-1)^m \,\sqrt{\pi}\cdot \frac{m! \,4^m}{(2 m)!} \;.$

$<<$

Выражение для $\mathbf{\Pi}(-1/2)$ можно получить с помощью формулы умножения Гаусса–Лежандра для функции $\mathbf{\Pi}(z)$ (см. п. 4 статьи «Функциональные уравнения для гамма-функции и пси-функции»), если в этой формуле положить $m=2$ и $z=0$.

$>>$

Произведения четных и нечетных чисел

$2^{-m}\cdot (2 \,m)!/m! =\prod_{k=1}^{m} (2 \,k -1) =1\cdot 3\cdot 5\cdot...\cdot(2 \,m -1) \;,$

$2^m\cdot m! =\prod_{k=1}^{m} (2 \,k) =2\cdot 4\cdot 6\cdot...\cdot 2 \,m \;.$

Значения функций ψ(x) и Ψ(x) для целых и полуцелых значений аргумента

$\Psi(0) =\psi(1) =-c_{\scriptscriptstyle E} \;,$

$\Psi(m) =\psi(m+1) =-c_{\scriptscriptstyle E} +\sum_{k=1}^{m} k^{-1} \qquad (m=1,2,3,...);$

$\Psi(-1/2 \pm m) =\psi(1/2 \pm m) =-c_{\scriptscriptstyle E} -2 \,\ln 2 +2 \,\sum_{k=1}^{m} (2 \,k -1)^{-1} \;.$

$<<$

Выражение для $\Psi(-1/2)$ можно получить с помощью формулы умножения для функции $\Psi(z)$ (см. п. 4 статьи «Функциональные уравнения для гамма-функции и пси-функции»), если в этой формуле положить $m=2$ и $z=0$.

$>>$

Значения функций ψ(x) и Ψ(x) для дробных значений аргумента

$\Psi(-m/n) =\psi(-m/n +1) = -c_{\scriptscriptstyle E} -\ln(2 n) +\frac{2\pi}{ 4 \,\tan\bigl(2\pi m/(2 n)\bigr) }$

$+2 \,\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2\pi km/n)\cdot \ln\Bigl(\sin\bigl(2\pi k/(2 n)\bigr)\Bigr) \;,$

$\Psi(m/n -1) =\psi(m/n) = -c_{\scriptscriptstyle E} -\ln(2 n) -\frac{2\pi}{ 4 \,\tan\bigl(2\pi m/(2 n)\bigr)}$

$+2 \,\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2\pi k m/n)\cdot \ln\Bigl(\sin\bigl(2\pi k/(2 n)\bigr)\Bigr) \;.$

В частности,

$\Psi(-1/2) =\psi(1/2) = -c_{\scriptscriptstyle E} -2 \,\ln 2 \;,$

$\Psi(-1/3) =\psi(2/3) = -c_{\scriptscriptstyle E} -(3/2)\cdot \ln 3 +2\pi /\bigl(4\sqrt{3}\bigr) \;,$

$\Psi(-2/3) =\psi(1/3) = -c_{\scriptscriptstyle E} -(3/2)\cdot \ln 3 -2\pi /\bigl(4\sqrt{3}\bigr) \;,$

$\Psi(-1/4) =\psi(3/4) = -c_{\scriptscriptstyle E} -3 \,\ln 2 +2\pi/4 \;,$

$\Psi(-3/4) =\psi(1/4) = -c_{\scriptscriptstyle E} -3 \,\ln 2 -2\pi/4 \;.$

$<<$

Вывод второй из приведенных здесь формул см. в приложении A.1.

$>>$

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Значения функции $\Psi(x)$ для дробных значений аргумента

Здесь будет выведена формула, приведенная в п. 4.

Для функции $\Psi(z)$ используем интегральное представление п. 2-a) статьи «Интегральные представления гамма-функции и связанных с ней функций».

Положив $z=m/n-1$, где $0<m<n$, и сделав подстановку $t=s^n$, получим

$c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(m/n-1) =\int_0^1 \frac{ 1 -t^{m/n-1} }{1-t} \,d t =\int_0^1 F(s) \,d s \;,$

где

$F(s) =n \,\frac{ s^{m-1} -s^{n-1} }{s^n -1} \;.$

Учитывая, что

$s^n -1 =(s-1) \,\prod_{k=1}^{n-1} \bigl(s -e^{i \,2\pi k/n}\bigr) \;,$

мы можем представить функцию $F(s)$ в виде суммы элементарных дробей

$F(s) =\sum_{k=1}^{n-1} \frac{ e^{i \,2\pi k \,m/n} -1 }{ s -e^{i \,2\pi k/n} } \;.$

В результате получаем

$c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(m/n-1) =\sum_{k=1}^{n-1} \bigl(e^{i \,2\pi k \,m/n} -1\bigr) \cdot \ln\bigl(1 -e^{-i \,2\pi k/n}\bigr) \;.$

Для того чтобы преобразовать выражение в правой части последнего равенства, мы используем несколько вспомогательных соотношений:

a)

$\sum_{k=1}^{n-1} \ln\bigl(s -e^{-i \,2\pi k/n}\bigr) =\ln \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(s -e^{-i \,2\pi k/n}\bigr) =\ln \frac{s^n -1}{s-1} =\ln(1 +s +...+s^{n-1}) \;,$

откуда следует

$\sum_{k=1}^{n-1} \ln\bigl(1 -e^{-i \,2\pi k/n}\bigr) =\ln n \;.$

b)

$\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,k\xi} =e^{i \,n \xi/2} \,\frac{ \sin\bigl((n-1) \,\xi/2\bigr) }{\sin(\xi/2)} \;,$

откуда следует

$\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,2\pi k \,m/n} =-1 \;.$

c)

$\sum_{k=1}^{n-1} k \,e^{i \,k\xi} =\frac{1}{ 4 \,\bigl(\sin(\xi/2)\bigr)^2 } \cdot \Bigl(n \,e^{i \,(n-1) \,\xi} -(n-1) \,e^{i \,n \xi} -1\Bigr) \;,$

откуда следует

$\sum_{k=1}^{n-1} k \,e^{i \,2\pi k \,m/n} =\frac{ -i \,n \,e^{-i \,2\pi m/(2n)} }{ 2 \,\sin\bigl(2\pi m/(2n)\bigr) } =\frac{-i \,n}{ 2 \,\tan\bigl(2\pi m/(2n)\bigr) } -\frac{n}{2} \;.$

В результате получаем

$c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(m/n-1) =-\ln n +\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,2\pi k \,m/n}\cdot \ln\bigl(1 -e^{-i \,2\pi k/n}\bigr)$

$=-\ln n +\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,2\pi k \,m/n}\cdot \Bigl(\ln 2 +i \,\frac{2\pi}{4} -i \,\frac{\pi \,k}{n}\Bigr) +\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,2\pi k \,m/n}\cdot \ln \sin(\pi \,k/n)$

$=-\ln(2 \,n) -\frac{2\pi}{ 4 \,\tan(\pi \,m/n) } +\sum_{k=1}^{n-1} e^{i \,2\pi k \,m/n}\cdot \ln \sin(\pi \,k/n) \;.$

Последнюю сумму можно преобразовать с помощью соотношения

$\sum_{k=1}^{n-1} z_k =\sum_{k=1}^{(n-1)/2} (z_k +z_{n-k}) \;;$

в итоге, получаем необходимый результат.

Литература

1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
   Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с.
   Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.
   Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!