Представление гамма-функции и связанных с ней функций в виде сходящихся рядов

В настоящей статье представлены формулы, в которых функции $\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$ и $\Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$ представляются в виде сходящихся рядов и бесконенчных произведений.

В формулах используются постоянная Эйлера-Маскерони $c_{\scriptscriptstyle E}$ и дзета-функция Римана $\zeta(k)$.

Ряды, содержащие логарифмы и простые дроби

При $z \ne -1,-2,-3,...$

${a) } \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-c_{\scriptscriptstyle E} \,z +\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(z/k -\ln(1+z/k)\bigr) \;;$

${b) } c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) =z \,\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1} \,(z+k)^{-1} \;.$

Модификация ряда для LnΠ(z), содержащего логарифмы

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z +\alpha) =\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) +\alpha \cdot \Psi(z)$

$+\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\alpha}{z+k} -\ln\Bigl(1 +\frac{\alpha}{z+k}\Bigr) +i \,2\pi \,m_k\right) \;,$

где $m_k$ – целые числа, определяемые условиями

$\ln\left(1+ \frac{\alpha}{z{+}k}\right) = \ln\left(\frac{ 1 +(z{+}\alpha)/k }{1+z/k}\right) =-\ln\bigl(1+z/k\bigr) + \ln\left(1 +\frac{z{+}\alpha}{k}\right) +i \,2\pi m_k \;.$

Здесь считается, что ни одно из чисел $z$ и $z +\alpha$ не является целым отрицательным.

Разложение модуля и аргумента гамма-функции

При $x \ne -1,-2,-3,...$

$\arg \mathbf{\Pi}(x +i \,y) =y\cdot \Psi(x) +\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{y}{x+k} -\arctan \frac{y}{x+k}\right) \;,$

$\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| =\big|\mathbf{\Pi}(x)\big| \cdot \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 +\frac{y^2}{(x+k)^2}\right)^{-1/2} \;,$

$\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big|^2 =\big|\mathbf{\Pi}(x)\big|^2 \cdot \frac{\pi \,y}{\sinh(\pi \,y)}\cdot q(x,y) \;,$

где

$q(x,y) =\prod_{k=1}^{\infty} \frac{1 +y^2 /k^2}{1 +y^2 /(x+k)^2} \;.$

Из данных формул следует:

• функция $\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| /\big|\mathbf{\Pi}(x)\big|$
  является возрастающей по отношению к $x$ при $x > -1$ и фиксированном значении $y$; то же самое можно сказать и о функции $q(x,y)$;
• функция $\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| /\big|\mathbf{\Pi}(x)\big|$ является убывающей по отношению к $y$ при фиксированном значении $x$;
• функция $q(x,y)$ является возрастающей по отношению к $y$ при фиксированном значении $x>0$.

Функция $q(x,y)$ для целых и полуцелых значений $x$ может быть определена формулами:
при $m =0,1,2,...$

$q(m,y) =\prod_{k=1}^{m} (1 +y^2 /k^2) \;,$

$q(m -1/2,\, y) =\frac{\tanh(\pi \,y)}{\pi \,y} \,\prod_{k=1}^{m} \left(1 +\frac{y^2}{(k -1/2)^2}\right) \;,$

$q(-m -1/2,\, y) =\frac{\tanh(\pi \,y)}{\pi \,y} \,\prod_{k=1}^{m} \left(1 +\frac{y^2}{(k -1/2)^2}\right)^{-1} \;.$

Из приведенных здесь формул и утверждений также следуют соотношения

$\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| \le |\mathbf{\Pi}(x)| \;,$

$\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big|^2 \ge \big|\mathbf{\Pi}(x)\big|^2 \cdot \frac{\pi \,y}{\sinh(\pi \,y)} \qquad (x\ge 0) \;.$

Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=0

$a) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-c_{\scriptscriptstyle E} z +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot \zeta(k)\cdot z^k$

$(|z|<1) \;;$

$b) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-\ln(1+z) +z\cdot (1-c_{\scriptscriptstyle E}) +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot \bigl(\zeta(k)-1\bigr)\cdot z^k$

$(|z|<2) \;;$

$c) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\frac{1}{2} \,\ln\left(\frac{\pi \,z}{ \sin(\pi \,z) }\right) -c_{\scriptscriptstyle E} z -\sum_{k=1}^{\infty} \zeta(2 k +1)\cdot \frac{ z^{2 k +1} }{2 k +1}$

$(|z|<1) \;;$

$d) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\frac{1}{2} \,\ln\left(\frac{\pi \,z}{\sin(\pi \,z)}\right) -\mathrm{arctanh}\, z +z\cdot (1-c_{\scriptscriptstyle E})$

$-\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(\zeta(2 k +1) -1\bigr)\cdot \frac{ z^{2 k +1} }{2 k +1} \qquad (|z|<2) \;.$

$<<$

Формула a) может быть получена из формулы п. 1-a) с учетом формулы представления дзета-функции в виде ряда (см. п. 1 статьи «Дзета-функция Римана и связанные с ней функции»).

$>>$

Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=1/2

Следующие соотношения можно получить используя формулы предыдущего пункта, а также формулу удвоения:

$a) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z-1/2) =(1/2)\cdot \ln \pi -(c_{\scriptscriptstyle E} +2 \,\ln 2)\cdot z$

$+\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \,k^{-1}\cdot \zeta(k)\cdot \bigl(2^k -1\bigr)\cdot z^k \qquad (|z|<1) \;;$

$b) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z-1/2) =\frac{1}{2} \,\ln \left(\frac{\pi}{ \cos(\pi \,z) }\right) -(c_{\scriptscriptstyle E} +2 \,\ln 2)\cdot z$

$-\sum_{k=1}^{\infty} (2 \,k +1)^{-1}\cdot \zeta(2 \,k +1)\cdot \bigl(2^{2 k +1} -1\bigr)\cdot z^{2 k +1} \qquad (|z|<1) \;.$

Формулы данного и предыдущего пунктов позволяют определить значения функций $(d /d z)^m \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z)$ при $z=0$ и $z=1/2$
$(m=1,2,3...)$.

Разложения функции Ψ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды

$a) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot \zeta(k)\cdot z^{k-1} (|z|<1);$

$b) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = z\cdot (1+z)^{-1} +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot \bigl(\zeta(k)-1\bigr)\cdot z^{k-1} (|z|<2);$

$c) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \frac{-2\pi}{ 4 \,\tan(\pi \,z) } +\frac{1}{2 \,z} -\sum_{k=1}^{\infty} \zeta(2 \,k +1)\cdot z^{2 k} (|z|<1);$

$d) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \frac{-2\pi}{4 \,\tan(\pi \,z)} +\frac{1}{2 \,z} +\frac{z^2}{z^2 -1}$

$- \sum_{k=1}^{\infty} \bigl(\zeta(2 \,k +1) -1\bigr)\cdot z^{2 k} (|z|<2).$

$<<$

Формула a) может быть получена из формулы п. 1-b) с учетом формулы представления дзета-функции в виде ряда (см. п. 1 статьи «Дзета-функция Римана и связанные с ней функци»).

$>>$

Литература

1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
   Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
   Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с. Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!