Задачи на второй замечательный предел

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность 11^\infty, может встречаться в следующих вариантах

limx(1+1x)x=e\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

limx0(1+x)1x=e\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e

limα(x)0(1+α(x))1α(x)=e\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}}=e

Примеры решения

Пример 1

limx(1+2x)3x=(1)\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=\left(1^{\infty}\right)

Используем третий вариант формулы

=[limα(x)0(1+α(x))1α(x)]=[x;2x0;2x=α;x=2α]==\left[\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}} \right]=\left[ x\to\infty; \frac{2}{x}\to 0; \frac{2}{x}=\alpha; x= \frac{2}{\alpha}\right]=

limα0(1+α)6α=(limα0(1+α)1α)6=e6\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{6}{\alpha}=(\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{1}{\alpha})^6=e^6

Пример 2

limx(15x2+x+1)7x2=(1)\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{7x^2}=\left(1^{\infty}\right)

Используем третий вариант формулы, для этого показатель степени домножаем на
5x2+x+1x2+x+15\frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}

Тогда показатель степени примет вид

7x25x2+x+1x2+x+15=35x2x2+x+115x2+x+17x^2\cdot \frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}= \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}

Получаем

limx(15x2+x+1)35x2x2+x+115x2+x+1=limx((15x2+x+1)15x2+x+1)35x2x2+x+1=limxe35x2x2+x+1\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{ \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{\frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}\right)^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}

Найдем предел показателя степени

limx35x2x2+x+1=limx35x2x2(1+1x+1x2)=limx351+1x+1x2=351+0+0=35\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{-35}{1+0+0}=-35

То есть
limxe35x2x2+x+1=e35\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=e^{-35}.

Автор статьи
+2
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1374 +156
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3331 +148
3
Признаки хорошего колледжа.
759 +105
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%