163
13 Авг в 08:4113.08.2018 в 08:41

Задачи на второй замечательный предел

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность 11^\infty, может встречаться в следующих вариантах

limx(1+1x)x=e\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

limx0(1+x)1x=e\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e

limα(x)0(1+α(x))1α(x)=e\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}}=e

Примеры решения

Пример 1

limx(1+2x)3x=(1)\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=\left(1^{\infty}\right)

Используем третий вариант формулы

=[limα(x)0(1+α(x))1α(x)]=[x;2x0;2x=α;x=2α]==\left[\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}} \right]=\left[ x\to\infty; \frac{2}{x}\to 0; \frac{2}{x}=\alpha; x= \frac{2}{\alpha}\right]=

limα0(1+α)6α=(limα0(1+α)1α)6=e6\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{6}{\alpha}=(\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{1}{\alpha})^6=e^6

Пример 2

limx(15x2+x+1)7x2=(1)\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{7x^2}=\left(1^{\infty}\right)

Используем третий вариант формулы, для этого показатель степени домножаем на
5x2+x+1x2+x+15\frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}

Тогда показатель степени примет вид

7x25x2+x+1x2+x+15=35x2x2+x+115x2+x+17x^2\cdot \frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}= \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}

Получаем

limx(15x2+x+1)35x2x2+x+115x2+x+1=limx((15x2+x+1)15x2+x+1)35x2x2+x+1=limxe35x2x2+x+1\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{ \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{\frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}\right)^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}

Найдем предел показателя степени

limx35x2x2+x+1=limx35x2x2(1+1x+1x2)=limx351+1x+1x2=351+0+0=35\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{-35}{1+0+0}=-35

То есть
limxe35x2x2+x+1=e35\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=e^{-35}.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ