ВКР по теме "Приближение действительных чисел рациональными дробями"

ВКР было оценена на "отлично"!

Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел. В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ [2].

Цель работы – изучить теоретические основы приближения действительных чисел рациональными дробями и рассмотреть практические примеры такого представления.

Задачи:

· рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;

· овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

· изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

· рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

· подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав и заключения. В первой главе рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также их приложения в других областях науки; элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. Во второй главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа.

При написании курсовой работы нами была использована научная и методическая литература, периодические издания, материалы сети Интернет.

Введение 2

Глава 1. Теоретические основы использования цепных дробей 5

1.1. Определение «цепной дроби», «подходящей дроби», представление действительного числа в виде цепной дроби, приближение вещественных чисел рациональными 5

1.2. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью 10

1.3. Представление рациональных чисел цепными дробями. 12

1.4. Теорема Дирихле о диофантовых приближениях 16

Глава 2. Практическое использование приближения действительных чисел рациональными дробями 19

2.1. Способы разложения цепных дробей на примерах 19

2.2. Подходящие дроби и их вычисление 21

2.3. Извлечение квадратного корня 22

2.4. Решение задач с использованием цепных дробей 23

Заключение 25

Список литературных источников 26

1. https://ru.wikipedia.org

2. Бухштаб А.А. Теория чисел: Учебное пособие для вузов. — М.: Просвещение, 1966. — 384с.

3. Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57.

4. Терских, В.П. Цепные дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / В.П. Терских // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 34 – 40.

5. Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49.

6. Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8

7. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.

8. Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).

9. Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.

10. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с.

11. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.

12. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.

13. Гладковский С. Н. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.

14. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.

15. Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.

16. Михелович Ш.Х. Теория чисел / Ш.Х. Михелович. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с.

17. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. В.В. Сазонова; под ред. И.М. Яглома - М.: Мир, 1966. - 199с.

18. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы / Л.Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 237с.